PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO

INCENTRO
As três bissetrizes de um triângulo interceptam-se num ponto chamado incentro.
A bissetriz de um triângulo é o segmento contido na semi-reta que é bissetriz de um ângulo do triângulo, com extremidades no vértice do ângulo e em um ponto do lado oposto.
A semi-reta BE divide o ângulo ABC em dois ângulos congruentes. Se BE está no interior de ABC e ABE = CBE, a semi-reta BE chama-se bissetriz do ângulo ABC.

ORTOCENTRO
Ortocentro é um ponto onde interceptam-se as três alturas de um triângulo. Uma altura de um triângulo é o segmento perpendicular a um lado do triângulo com extremidades nesse lado e no vértice oposto a ele.

BARICENTRO
As três medianas de um triângulo interceptam-se num ponto chamado baricentro. Uma mediana de um triângulo é o segmento cujas extremidades são um vértice do triângulo e o ponto médio do lado oposto.
Se M está entre A e B e AM = BM , M chama-se o ponto médio do Segmento AB.
O baricentro de qualquer triângulo divide um mediana na razão 2 para 1.

CIRCUNCENTRO
O circuncentro é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados de um triângulo.O circuncentro do triângulo PFC é o centro de uma circunferência se ela estiver cirunscrita ao triângulo, ou seja é o centro da circunferência que passa pelos três vértices. E isto vale para qualquer outro triângulo.

COMENIUS

O INÍCIO DA VIDA DE COMENIUS:
Nascido em 28 de março de 1592, na Morávia (Região da Europa Central pertencente ao Reino da Boêmia).
Comenius foi educado por sua mãe Ana e seu pai Martinho segundo a seita Irmãos Morávios. Aos 12 anos de idade, perde seus pais e suas duas irmãs.
Os Morávios eram homens de extrema religiosidade, enorme piedade, homens de boa índole, solidários e confiáveis, e segundo suas crenças Comenius desenvolveu sua personalidade. Jan Huss foi levado à fogueira pela Igreja, era padre, professor, reitor da Universidade de Praga, combatia o feudalismo, defendia a igualdade de direitos e condições, e o fim da pobreza absoluta para os sacerdotes. A seita Irmãos Morávios surgiu após sua execução no século XV.

COMENIUS NA ESCOLA:
Após a morte de sua família Comenius é levado para outra cidade onde passa a morar com seus tutores. Começa tarde a freqüentar a escola primária dos Irmãos, onde aprende leitura, escrita, catecismo e cálculo. Na escola, Comenius encanta-se pela arte do saber e passa a desejar adquirir cada vez mais conhecimentos.
Comenius na escola secundária: Aos 16 anos de idade, comenius passa a estudar numa escola secundária, onde lhe é ensinado a retórica, a gramática,a dialética e o latim.
Comenius percebe o quanto são precários e inadequados os métodos usados nas escolas da época:
“ Usou-se quase sempre um método tão duro que as escolas são consideradas como câmaras de tortura das inteligências... O que se pode inculcar e infundir suavemente nos espíritos é neles impresso violentamente, ou melhor,é neles enterrado e ensacado”.
Comenius na faculdade: Em 1611, após terminar seus estudos na escola secundária, vai para a Faculdade calvinista de Herborn na Alemanha, onde passa a estudar teologia. Durante os estudos, começa a escrever uma espécie de dicionário latino – checo, e influenciado por seu professor, idealiza o “Teatrum universitatis rerum”.
Ainda durante seus estudos na Faculdade de Herborn, Comenius cria duas obras de destaque:
“ Problemata miscelânia” e “Syloge quaestiorum controversum”.

Comenius em Heidelberg: Comenius vai para Heidelberg, uma região da Alemanha, onde aperfeiçoa seus conhecimentos de matemática e astronomia.
A volta de Comenius para a Morávia: Motivado pelas idéias pedagógicas trazidas da Universidade, Comenius chega ao centro da comunidade morávia, Prerov, onde atuando no magistério, modifica a forma de ensinar artes e ciências na sua escola.

COMENIUS COMO PROFESSOR E SUAS OBRAS:
“ Empenha-se em tornar agradável o ensino, pondo de lado o verbalismo e a memorização vazia. Recorre à pedagogia sensorial, à atividade constante e ao exercício lúdico. Desenvolve o raciocínio de seus alunos, não ensinando nada com base na autoridade.”
Enquanto dá aula, percebe a necessidade de acelerar o estudo do latim, e escreve a “Gramática para facilitar o estudo do latim”.
Comenius ordenado pastor: Em 26 de abril de 1616, após exercer por dois anos o magistério, deixa-se levar pelo amor às Escrituras Sagradas e pela sua formação moral e religiosa, tornando-se pastor dos Irmãos Morávios.
Foi para Fulnek e casou-se com Madalena Vizovska, com quem teve seus dois primeiros filhos.
Graças ao seu maravilhoso desempenho como educador, Comenius em 1618 torna-se diretor das escolas morávias da região.
Comenius baseia-se em lições tiradas da natureza para formar seus conceitos relacionados à pedagogia. Um desses conceitos, é o de que é mais fácil ensinar algo a uma criança do que a um adulto, assim como um jardineiro que transfere plantas muito jovens de um local para outro, enquanto não é possível fazer o mesmo com plantas adultas.
A Guerra dos Trinta Anos foi uma guerra entre protestantes e católicos, que teve início com a concessão da coroa checa a Fernando da Estiria, que era católico e pretendia eliminar da Boêmia a heresia, incluindo os Irmãos Morávios, seita da qual Comenius fazia parte.
Em 26 de maio de 1618, teve início a guerra, no entanto, os boêmios oferecem a coroa da boêmia a Frederico V que era chefe da União Evangélica, e em sua coroação , Comenius esteve presente.
A Guerra atinge Comenius profundamente quando em 1621 o exército invade e incendeia Fulnek, e essa invasão torna-se ainda mais trágica para Comenius, que perde seus bens, seus livros, seus manuscritos, e seu maior tesouro, sua esposa e seus filhos.
Comenius agora sozinho, refugia-se na casa de um amigo, Carlos de Zerotin, onde escreve “ O Labirinto do mundo e o paraíso do coração”, em 1623,que torna-se reconhecido na literatura checa e chega a várias edições. Nessa obra, Comenius sugere aos leitores “um encontro com o divino mediante o recolhimento interior...”.
Em 1628, Comenius juntamente com seus Irmãos Morávios que sobreviveram à guerra, ruma para a Polônia. Comenius instala-se em Leszno, onde casa-se com Dorotéia Cirilo, e continua suas atividades de pastor e educador, e passa a usar o teatro como recurso didático.
Conclui o livro “ Didática Checa” e escreve também o “ Guia da Escola Materna”, que destaca a presença das mães e das amas no processo pedagógico como importante contribuição para a aprendizagem das crianças.
Comenius traduz para o latim a “Didática Checa” com o nome de “Didactica Magna” e refere-se à obra como “tratado sobre a arte de ensinar”. “Didactica Magna”, é uma das obras mais importantes de Comenius.
Defendia o conceito de que a Pansofia denominada por ele como “saber universal”,sendo, segundo ele, o melhor instrumento de transformação do mundo através da educação, seria a forma de fazer com que as pessoas fossem conscientes de suas condições enquanto criaturas de Deus, e das suas necessidades de virtude e saber.
Comenius, contrário as influências da época defendia a formação superior para as mulheres, pois julgava que as mulheres tinham capacidade de aprender igual à dos homens.
Comenius dedica-se consideravelmente ao ensino pré-escolar, e reconhece o brinquedo como algo indispensável na educação das crianças.
Em 1631, Comenius premia o mundo com mais uma de suas obras, a “Porta Aberta do Universo”, que teve repercussão internacional e tratava-se de uma espécie de manual direto para o ensino das línguas.
Defendia que a escola fosse organizada da seguinte forma:

* Escola Materna (“schola materna”): para crianças com até seis anos de idade, seu lugar é no próprio lar, sob orientação e cuidados da mãe.
* Escola Primária (“schola vernácula”): para crianças entre 6 e 12 anos de idade, é pública e seriada, proporciona aos alunos conhecimentos sobre leitura, escrita, e redação do próprio idioma, cálculo, canto, moral, religião, economia, história, geografia e artes manuais.
* Escola Secundária (“ schola latina”): para adolescentes que não desejavam dedicar-se aos trabalhos manuais, era ensinado a gramática, física, matemática, ética, dialética, retórica, ciências e quatro línguas (o vernáculo, o latim, o grego e o hebraico).
* Escola Universitária (“academia et peregrinationes”): Para adultos que já concluíram a escola secundária, tem 5 opções de especialização: teologia, medicina, direito, magistério ou política.
Comenius estabelece procedimentos didáticos nas secolas:
* Um único professor para cada classe;
* Um só livro para cada matéria;
* Um mesmo trabalho para todos os alunos;
* Um único método para todas as ciências, artes e línguas;
* Ensinar tudo com poucas palavras;
* Ensinar conjuntamente matérias afins;
* Ensinar tudo gradualmente;
* Cancelar o inútil.
Seu método didático constituiu-se basicamente em três elementos: compreensão, retenção e práticas. São elementos essenciais para a construção desse método:
* tudo o que se deve saber deve ser ensinado;
* qualquer coisa que se ensine deverá ser ensinada em sua aplicação prática, no seu uso definido;
* deve ensinar-se de maneira direta e clara;
* ensinar a verdadeira natureza das coisas, partindo de suas causas;
* explicar primeiro os princípios gerais;
* especificar as pequenas partes das coisas e relacioná-las entre si.
* ensinar as coisas em seu devido tempo;
* não abandonar nenhum assunto até sua perfeita compreensão;
* dar a devida importância às diferenças que existem entre as coisas.

“Não se consegue de uma só semente produzir a mesma árvore? De um só método farei alunos capazes!"
Comenius justifica o uso de um só método:
“ O fim é o mesmo: sabedoria, moral e perfeição;
Todos são dotados da mesma natureza humana, apesar de terem inteligências diversas;
A diversidade das inteligências é tão somente um excesso ou deficiência da harmonia natural;
O melhor momento para remediar excessos e deficiências acontece quando as inteligências são novas.”

Comenius é chamado à Inglaterra em 1641, afim de promover uma reforma na educação, e levar o projeto pansófico, ou seja, do saber universal, do ensino de tudo a todos. É recebido com festa em Londres, hospeda-se na casa de um sábio filantropo, Samuel Harttlib.
No entanto, não chega a seu objetivo, graças a revoltas e agitações internas.
Em 1642 Comenius deixa Londres, escreve o “ Via Lucis” onde fala de suas idéias pansóficas.
Comenius influencia muitos estudiosos da época, que publicam obras baseadas em suas idéias em relação à educação.

Comenius vai para a Suécia graças a mais uma proposta de reforma da educação, durante a viagem, conhece Descartes no Castelo de Endegeest na cidade de Leide.
Em 1647, escreve o “ Novíssimo método das línguas”, onde defende que as línguas devem ser aprendidas mais com o uso da prática que com regras gramaticais. Neste livro, além de sugestões metodológicas, compara línguas e demonstra ser contrário à tradução literal de textos.
Começa a escrever “A consulta universal sobre o melhoramento dos negócios humanos”, onde reforça sua idéia de que a educação trará a paz mundial, por meio do progresso da humanidade.


Em 1648, volta para Leszno onde perde sua segunda esposa, e depara-se com o Tratado de paz de Westfália que pôs fim à guerra, e modificou o mapa político da Europa, deixando a Boêmia totalmente esquecida.
Em 1649, Comenius torna-se bispo geral dos Irmãos,casado pela terceira vez, acompanhado de 1 filho e 3 filhas, escreve o “Testamento da Unidade”, conclui a terceira parte do tratado “Dos Aflitos” e “a arte da pregação”.
Comenius vai para a Hungria buscar mais uma reforma, onde em 1651 funda uma escola pansófica modelo, nesse período escreve importantes obras, “Normas para a boa organização das escolas”, onde conta suas experiêcias como educador e administrador de escolas, e “O mundo ilustrado”, uma enciclopédia infantil, com o objetivo de ensinar às crianças por meio de gravuras.

Em Amsterdã instala-se com a família e continuas suas atividades, publica várias obras, entre elas, “ Opera didactica omnia ab anno” em 1657, “Consulta Universal Sobre o Melhoramento dos Negócios Humanos” em 1657, “O Anjo da Paz” em 1667 e “A Única Coisa Necessária” em 1668. Mantendo sempre seus ideais de levar à humanidade conhecimento, virtude, amor a Deus e paz através da educação.
Em 1670, Comenius é atingido por uma grave doença, mas encontra forças para escrever resumidamente seus princípios pedagógicos no “Spicilegium didacticum”:
 Deve-se acostumar a criança a trabalhar a mão e a mente;
 Primeiro formar a mente, depois provê-la;
 Iniciar pelo estímulo dos sentidos;
 Dividir cada assunto em partes para a melhor compreensão;
 Respeitar o “tempo” de aprendizagem da criança;
 Que cada lição desperte um raciocínio imediato e um mediato.
 Desenvolver a idéia, dar a palavra que a representa e cultivar a linguagem;
 Passar do conhecido ao desconhecido, do simples ao complexo, do concreto ao abstrato, do geral ao particular;
 Primeiro a síntese, depois a análise;
 A intuição é a base da instrução.


MORTE DE COMENIUS E RECONHECIMENTO A ELE:
No dia 15 de novembro de 1672, Comenius conclui sua passagem pela terra, deixando um enorme legado para a humanidade, com idéias pedagógicas à frente de seu tempo, que vieram mais tarde a serem lapidadas por Rousseau, Pestalozzi, Froebel e outros.
Muitas obras de Comenius foram traduzidas para várias línguas após sua morte.
Em 1956 a Conferência Internacional da UNESCO realizada em Nova Delhi, delibera a publicação das obras de Comenius e o aponta como “ um dos primeiros propagadores das idéias que inspiraram a fundação da UNESCO”, graças ao seu desejo de levar à humanidade conhecimento e paz.
Em 1989, a UNESCO declara o ano de 1992 como “Ano de Comenius”, para comemorar o 4° centenário de nascimento de Jan Amós Komenskí.




Ao conhecer um pouco da história de vida de Comenius, percebemos o quanto eram grandiosas suas obras, ricas, assim como ele. Comenius além de pensador, reformador de homens e de sociedades conseqüentemente, pode-se dizer que foi o fundador da didática e de parte da pedagogia moderna, graças às suas idéias que estavam sempre à frente de seu tempo. Comenius, foi um exemplo de homem de bem, religioso, e preocupado com o progresso e o bem estar físico, mental e espiritual da humanidade, digno de admiração, reconhecimento e homenagens.

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Homotetia e Geoplano

Do grego:

homo (similar) e tetia (posição)

Esse termo foi usado pela primeira vez por Michel Chasles* em 1827.

*Michel Chasles (Epernon, 15 de Novembro de 1793 — Paris, 18 de Dezembro de 1880) foi um matemáticofrancês. Educado em Paris, abandonou o comércio para dedicar-se à matemática. Em 1829, perante a Academia de Bruxelas, expôs sua descoberta de princípios gerais de geometria: dualidade e homografia. Ampliando-os, escreveu em 1837 sua Apreciação histórica sobre a origem e o desenvolvimento dos métodos em geometria.Foi professor de mecânica e geodésia de Escola Politécnica de Paris (1841) e mais tarde de geometria superior na Sorbonne. É considerado um dos maiores geômetras de todos os tempos, tendo feito importantes contribuições à ciência.

* Homotetia é a ampliação ou a redução das distâncias dos pontos de um espaço em relação a um ponto fixo.

É definida pelo seu centro O e pela razão k de homotetia e é a aplicação afim tal que a cada ponto P faz corresponder o ponto P' tal que:

OP' = k .OP

Quando se amplia ou se reduz uma figura plana, os ângulos se mantêm com a mesma abertura, mas os lados aumentam na mesma razão (proporção).


* Geoplano consiste numa prancheta de madeira ou de plástico composta de pregos ou metais disposta em quadrado, permitindo a construção de vários polígonos e aprofundamento de uma variedade de conceitos geométricos.

É um recurso didático-pedagógico, dinâmico e manipulativo (construir, movimentar e desfazer). Contribui para explorar problemas geométricos e algébricos. Oferece apoio à representação mental e uma etapa para o caminho da abstração.



Utilizando o Geoplano é possível aplicar conceitos de Homotetia, construindo figuras e depois aumentar ou reduzir seu tamanho.

O Applet Geoplano é uma ferramenta interessante que representa um Geoplano onde poderemos aplicar os conceitos de Homotetia.

Para visualizar o Applet clique no título.